# Questão 15954982-ca — Matemática

> Questão de múltipla escolha com gabarito, do acervo do Dicas do ENEM.
> Página com a questão respondível: https://dicasdoenem.com.br/questao/15954982-ca

- **Código:** 15954982-ca
- **Disciplina:** [Matemática](https://dicasdoenem.com.br/disciplina/13-matematica)
- **Área:** [Matemática](https://dicasdoenem.com.br/area/matematica)
- **Ano:** [2023](https://dicasdoenem.com.br/ano/2023)
- **Instituição:** Universidade Estadual de Londrina
- **Assuntos:** Análise Combinatória em Matemática
- **Nível:** Difícil
- **Gabarito:** alternativa A

## Enunciado

Leia o texto a seguir e responda à questão.

Durante a Segunda Grande Guerra, os alemães utilizavam a Enigma, uma engenhosa máquina eletromecânica para criptografar mensagens de sua força
militar, tornando a comunicação indecifrável para o
Reino Unido e seus aliados.

Alan Turing (1912–1954) foi um matemático e cientista britânico que
atuou diretamente na decodificação
da Enigma. Sem sequer desconfiar,
o Estado-maior alemão tinha suas
comunicações e estratégias militares
decifradas, fato que alterou os rumos
da Segunda Grande Guerra.

![Figura 1 de 2 da questão de Matemática, UEL 2023, Análise Combinatória em Matemática](https://dicasdoenem.com.br/imagens/05/052f663b175971a63cac5708d10226eee764bd9ed971776619a1e3b3af4d6d0f.jpg)

Com seu conhecimento e esforço, estima-se que Turing possa ter encurtado a guerra em dois anos e
salvo mais de 14 milhões de vidas. Após a guerra,
foi condenado pela Justiça britânica por manter relações homossexuais e foi submetido à castração química para não ser preso. Atribui-se a Turing o título
de pai da computação e a formalização dos conceitos
de algoritmo.

Adaptado de: brasilescola.uol.com.br

Considere X = {x1, x2,..., x10} com xi ≠ xj para todo i, j ∈ {1,...,10} distintos. Deseja-se transmitir a um destinatário uma palavra formada com os caracteres do conjunto X. Para enviá-la de modo sigiloso, uma estratégia é criptografar a palavra trocando cada um de seus caracteres utilizando uma função f : X → X que satisfaça as seguintes propriedades:

I. f (f(x)) = x para todo x ∈ X

II. f (x) ≠ x para todo x ∈ X

Se apenas o remetente e o destinatário conhecem a função,
a palavra é transmitida em segurança.

Por exemplo:

caso se escolha f de modo que f (x1) = x7, f (x2) = x5 e f (x10) = x3, então

![Figura 2 de 2 da questão de Matemática, UEL 2023, Análise Combinatória em Matemática](https://dicasdoenem.com.br/imagens/bf/bffbc3f6e3b233e32759d41f668f14966523a045a352b5abd2c4b0fb8729414e.jpg)

Adaptado de: google.com

Com base no exposto e nos conhecimentos matemáticos,
atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmativas a seguir.

( ) Se f : X →X atende as propriedades I e II, então f é
injetora e sobrejetora.

( ) Se f : X → X é tal que f(x1) = x5 e f (x5) = x2,
então f atende as propriedades I e II.

( ) Se f : X → X atende as propriedades I e II, então
f(f(f(x))) = x para todo x ∈ X.

( ) Existem 105 funções f : X → X com f(x1) = x2 e
que atendem as propriedades I e II.

( ) Existem 945 funções f : X → X que atendem as propriedades I e II.

Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a
sequência correta.

## Alternativas

- **A)** V, F, F, V, V ✔ **correta**
- **B)** V, F, F, F, V
- **C)** V, V, V, F, F
- **D)** F, V, F, V, F
- **E)** F, F, V, F, V

## Resposta correta

Alternativa **A**.

## Como citar

Dicas do ENEM. Questão 15954982-ca. Disponível em: https://dicasdoenem.com.br/questao/15954982-ca