Muitas formas presentes na natureza são de difícil representação por entes geométricos tradicionais, como
retas, planos e cubos, mas que podem ser aproximadas por meio da aplicação de operações geométricas
sucessivas.
Por exemplo, certos animais filtradores, como as esponjas, possuem esqueleto flexível de espongina, que
podem ter sua forma aproximada pela n-ésima etapa da
construção da região denominada Esponja de Menger,
cujo volume V (n) é dado por
V (n) = (20 / 27)n−1 − 7 · 20n−1 · (1 / 27)n
, para n ∈ N∗
Na sequência, estão ilustrados um esqueleto flexível de
espongina, um cubo unitário e as três primeiras etapas
da construção da Esponja de Menger, como apresentado na exposição "A Beleza da Matemática" do Museu
do Amanhã.
Com base nas informações apresentadas, considere as
afirmativas a seguir.
I. As esponjas pertencem ao filo Cnidaria e apresentam, como característica, a presença de um tipo
básico de indivíduo denominado pólipo.
II. O volume de cada etapa da construção da Esponja
de Menger é menor que o volume da etapa anterior,
isto é, V (n + 1) < V (n) para todo n ∈ N∗
III. Independentemente de qual etapa da construção
da Esponja de Menger seja considerada, seu volume é um número racional.
IV. Além da espongina, a estrutura esquelética das
esponjas é constituída por colágeno fibrilar, uma
proteína, e espículas silicosas ou calcáreas.
Assinale a alternativa correta.
