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Enunciado

Leia o texto a seguir e responda à questão.



Durante a Segunda Grande Guerra, os alemães utilizavam a Enigma, uma engenhosa máquina eletromecânica para criptografar mensagens de sua força militar, tornando a comunicação indecifrável para o Reino Unido e seus aliados.

Alan Turing (1912–1954) foi um matemático e cientista britânico que atuou diretamente na decodificação da Enigma. Sem sequer desconfiar, o Estado-maior alemão tinha suas comunicações e estratégias militares decifradas, fato que alterou os rumos da Segunda Grande Guerra.


                                                                                    Imagem da questão de Matemática, da prova de 2023, Análise Combinatória em Matemática


Com seu conhecimento e esforço, estima-se que Turing possa ter encurtado a guerra em dois anos e salvo mais de 14 milhões de vidas. Após a guerra, foi condenado pela Justiça britânica por manter relações homossexuais e foi submetido à castração química para não ser preso. Atribui-se a Turing o título de pai da computação e a formalização dos conceitos de algoritmo.


Adaptado de: brasilescola.uol.com.br

Considere X = {x1, x2,..., x10} com xi  ≠  xj para todo i, j ∈ {1,...,10} distintos. Deseja-se transmitir a um destinatário uma palavra formada com os caracteres do conjunto X. Para enviá-la de modo sigiloso, uma estratégia é criptografar a palavra trocando cada um de seus caracteres utilizando uma função f : X → X que satisfaça as seguintes propriedades:



I. f (f(x)) = x para todo x ∈ X


II. f (x) ≠ x para todo x ∈ X


Se apenas o remetente e o destinatário conhecem a função, a palavra é transmitida em segurança.


Por exemplo:

caso se escolha f de modo que f (x1) = x7, f (x2) = x5 e f (x10) = x3, então



                                                  Imagem da questão de Matemática, da prova de 2023, Análise Combinatória em Matemática

                                                                               Adaptado de: google.com



Com base no exposto e nos conhecimentos matemáticos, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmativas a seguir.



(   ) Se f : X →X atende as propriedades I e II, então f é injetora e sobrejetora.



(   ) Se f : X → X é tal que f(x1) = x5 e f (x5) = x2, então f atende as propriedades I e II.



(   )  Se f : X → X atende as propriedades I e II, então f(f(f(x))) = x para todo x ∈ X.



(   )  Existem 105 funções f : X → X com f(x1) = x2 e que atendem as propriedades I e II.



(   ) Existem 945 funções f : X → X que atendem as propriedades I e II.




Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta.

Alternativas

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Resposta AV, F, F, V, V

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