Questões de Matemática do ENEM

    A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma.

    As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações.

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por Ox e Oy, e o centro do sistema, por O.

N = {1; 2 ;3; .  .  .}: denota o conjunto dos números naturais.

R                         : denota o conjunto dos números reais.

i                           : denota a unidade imaginária, i2 = -1:

                       : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB                       : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

Sejam m, n e k números reais. Considere os sistemas abaixo:

Sabendo-se que os dois sistemas são equivalentes (isto é, possuem o mesmo conjunto solução), o valor de k é

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por Ox e Oy, e o centro do sistema, por O.

N = {1; 2 ;3; .  .  .}: denota o conjunto dos números naturais.

R                         : denota o conjunto dos números reais.

i                           : denota a unidade imaginária, i2 = -1:

                       : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB                       : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

Devido aos altos custos, ou à inviabilidade de realizações de algumas pesquisas, como, por exemplo, os censos, o cálculo de estimativas populacionais é uma opção utilizada para determinar a quantidade de indivíduos em uma população. Admita que, por meio da realização de uma pesquisa, no ano (chamado ano base), apurou-se que havia indivíduos e que, em outro ano após o ano base, também via pesquisa, obteve-se indivíduos. Uma das formas de se estimar a quantidade de indivíduos, anos após o ano base, é utilizar:

em que N é o tempo exato entre as duas pesquisas. 

Considerando-se que a população obtida na pesquisa de 2024 é 16 vezes maior que a população obtida na pesquisa de 2004 (ano base), em qual ano a estimativa P_n será igual ao dobro da população de 2004? 

O Floco de Neve de Koch é um fractal obtido a partir de um triângulo equilátero seguindo os procedimentos:

1) toma-se cada um dos seus lados e divide-o em três segmentos iguais;

2) retira-se o segmento central de cada lado e o substitui por outro triângulo equilátero sem base, formando uma nova imagem;

3) repetem-se os passos (1) e (2) na imagem formada após executar o passo (2);

4) repete-se o passo (3) infinitamente. 

Denotamos como iteração a quantidade de vezes que os passos (1) e (2) foram executados. Admitindo o triângulo equilátero como iteração zero, o quadro ao lado exibe as imagens obtidas nas iterações 0, 1 e 2.

Considerando-se que o triângulo inicial tenha 1 cm de lado, a figura que tem como perímetro 256/27  cm representa a imagem obtida na iteração: