Prova de 2015: Universidade de São Paulo (USP) — questões com gabarito

Quando a Lua está em quarto crescente ou quarto minguante, o triângulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua é retângulo, com a Lua no vértice do ângulo reto. Oastrônomo grego Aristarco, do século III a.C., usou este fato para obter um valor aproximado da razão entre as distâncias da Terra à Lua,  , e da Terra ao Sol, .

É possível estimar a medida do ângulo α , relativo ao vértice da Terra, nessas duas fases, a partir da observação de que o tempo t1 , decorrido de uma lua quarto crescente a uma lua quarto minguante, é um pouco maior do que o tempo t2 ,decorrido de uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente. Supondo que a Lua descreva em torno da Terraum movimento circular uniforme, tomando t₁ = 14,9 dias e t₂ = 14,8  dias, conclui se que a razão  seria aproximadamente dada por

No quadrilátero plano ABCD, os ângulos  e   são retos, AB = AD = 1, BC = CD = 2 e  é uma diagonal.O cosseno do ângulo  vale